PCA（一）—-PCA简介
回家前终于用latex写了半篇，虽然很幼稚，但不失为一个进步。
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\begin{document} % 开始正文
\begin{CJK*}{GBK}{song} % 开始中文环境\author{Haitao} % 作者
\title{PCA（一）—-PCA简介} % 题目
\maketitle % 生成标题PCA（Principal component analysis ），主成分分析（主元分析），主要用来对数据进行降维。对一个$n\times p$的矩阵X，n表示观察的样本，比如第i行表示第i次观测的结果。p表示数据的特征数。在p很大
也就是特征很多的时候，我们很难看出观察数据与特征之间的关系。如果我们可以在数据信息尽量不损失的
情况下，将p个特征转化为k（$k\ll p$）个特征，那么这将为我们处理数据带来极大的帮助。PCA就是这样一种技术。
它将数据从p维空间减少的k维空间（$k\ll p$），而数据的信息尽量不损失。
PCA是怎样做到这一点呢？考虑对X（假设X已经中心化）做SVD分解：
\begin{equation}
X=UDV^{\rm T}
\end{equation}
\\其中，X是$n\times p$的矩阵，U是$n\times n$的正交阵（$U^{\rm T}U=I$）。V是$p\times p$的正交阵（$V^{\rm T}V=I$）。D是$n\times p$的对角阵，$D=diag(d_1,d_2,d_3,\ldots ,d_r)$，$d_1 \geq d_2\geq d_3\geq \ldots \geq d_r\geq 0$。
数据X的信息可以用D中对角线元素来表示，设$D_k$表示D中前k个对角线元素的平方和，$D_r$表示D中所有对角线元素的平方和，那个它们的比值$D_k/D_r$
表示前k个对角线元素所代表的信息占数据矩阵X的信息的比重，记为PEV（percentage of explained variance ）。显然这个比值越大代表的信息越多，信息损失也就越小。由于$d_1 \geq d_2\geq d_3\geq \ldots \geq d_r\geq 0$，而且在通常情况下前面的几个元素远大于后面的元素，假设前面几个非常大的对角线元素的个数为k，也就是说$d_1,d_2,d_3,\ldots ,d_k$都很大，$d_k+1,d_2,d_3,\ldots ,d_r$远小于前面k个对角线元素，那么我们就可以将后面的这些忽略不计，记为0，而此时PEV值仍然很大，接近于1，因此我们成功地将p维数据降到k维空间上，
而且通常$k\ll p$。
PCA将原来的p个特征转化为k（$k\ll p$）个特征，为以后数据分析提供了很好的条件。假设我们取k个主元，对X做SVD分解为：
\begin{equation}
X=UDV^{\rm T}
\end{equation}
\\其中，X是$n\times p$的矩阵，U是$n\times k$的正交阵（$U^{\rm T}U=I$）。V是$p\times k$的正交阵（$V^{\rm T}V=I$）。D是$k\times k$的对角阵，$D=diag(d_1,d_2,d_3,\ldots ,d_k)$，$d_1 \geq d_2\geq d_3\geq \ldots \geq d_r\geq 0$。
对（2）做进一步转化：
\begin{equation}
XV=UD
\end{equation}
其中，UD称为主成分、主元（Principal component ），用PC表示。V称为loadings。
\end{CJK*} % 结束中文环境
\end{document} % 结束正文
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